81x^2-180x+100 megoldása

$$81 x ^ { 2 } - 180 x + 100$$

Szorzattá alakítás

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

A megoldás lépései

Csoportosítással tényezőkre bontjuk a kifejezést úgy, hogy először átírjuk 81x^{2}+ax+bx+100 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-180 ab=81\times 100=8100$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 8100.

$$-1,-8100 -2,-4050 -3,-2700 -4,-2025 -5,-1620 -6,-1350 -9,-900 -10,-810 -12,-675 -15,-540 -18,-450 -20,-405 -25,-324 -27,-300 -30,-270 -36,-225 -45,-180 -50,-162 -54,-150 -60,-135 -75,-108 -81,-100 -90,-90$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-8100=-8101 -2-4050=-4052 -3-2700=-2703 -4-2025=-2029 -5-1620=-1625 -6-1350=-1356 -9-900=-909 -10-810=-820 -12-675=-687 -15-540=-555 -18-450=-468 -20-405=-425 -25-324=-349 -27-300=-327 -30-270=-300 -36-225=-261 -45-180=-225 -50-162=-212 -54-150=-204 -60-135=-195 -75-108=-183 -81-100=-181 -90-90=-180$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -180.

$$a=-90 b=-90$$

Átírjuk az értéket (81x^{2}-180x+100) \left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right) alakban.

$$\left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right)$$

A 9x a második csoportban lévő első és -10 faktort.

$$9x\left(9x-10\right)-10\left(9x-10\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 9x-10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Lépések binom négyzetének használatával

Ez a háromtagú kifejezés teljes négyzet alakban van, esetleg meg van szorozva egy közös tényezővel. A teljes négyzet szorzattá alakításához ki kell számolni az első és az utolsó tag négyzetgyökét.

$$factor(81x^{2}-180x+100)$$

Megkeressük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.

$$gcf(81,-180,100)=1$$

Négyzetgyököt vonunk az első, 81x^{2} tagból.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Négyzetgyököt vonunk az utolsó, 100 tagból.

$$\sqrt{100}=10$$

A trinom teljes négyzet annak a binomnak a négyzete, amely az első és az utolsó tag négyzetgyökének összege vagy különbsége, ahol az előjelet a trinom középső tagjának előjele adja meg.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$81x^{2}-180x+100=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{\left(-180\right)^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -180.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 81.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -324 és 100.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Összeadjuk a következőket: 32400 és -32400.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±0}{2\times 81}$$

-180 ellentettje 180.

$$x=\frac{180±0}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 81.

$$x=\frac{180±0}{162}$$

Az eredeti kifejezést szorzattá alakítjuk a következő képlet alapján: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Behelyettesítjük a(z) \frac{10}{9} értéket x_{1} helyére, a(z) \frac{10}{9} értéket pedig x_{2} helyére.

$$81x^{2}-180x+100=81\left(x-\frac{10}{9}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

\frac{10}{9} kivonása a következőből: x: megkeressük a közös nevezőt, majd kivonjuk egymásból a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

\frac{10}{9} kivonása a következőből: x: megkeressük a közös nevezőt, majd kivonjuk egymásból a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\times \frac{9x-10}{9}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{9x-10}{9} és \frac{9x-10}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{9\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 9 és 9.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{81}$$

A legnagyobb közös osztó (81) kiejtése itt: 81 és 81.

$$81x^{2}-180x+100=\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Kiértékelés

$$\left(9x-10\right)^{2}$$