81x^2+180x+100 megoldása

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Szorzattá alakítás

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

A megoldás lépései

Csoportosítással tényezőkre bontjuk a kifejezést úgy, hogy először átírjuk 81x^{2}+ax+bx+100 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 180.

$$a=90 b=90$$

Átírjuk az értéket (81x^{2}+180x+100) \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right) alakban.

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

A 9x a második csoportban lévő első és 10 faktort.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 9x+10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Lépések binom négyzetének használatával

Ez a háromtagú kifejezés teljes négyzet alakban van, esetleg meg van szorozva egy közös tényezővel. A teljes négyzet szorzattá alakításához ki kell számolni az első és az utolsó tag négyzetgyökét.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Megkeressük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Négyzetgyököt vonunk az első, 81x^{2} tagból.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Négyzetgyököt vonunk az utolsó, 100 tagból.

$$\sqrt{100}=10$$

A trinom teljes négyzet annak a binomnak a négyzete, amely az első és az utolsó tag négyzetgyökének összege vagy különbsége, ahol az előjelet a trinom középső tagjának előjele adja meg.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -324 és 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Összeadjuk a következőket: 32400 és -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Az eredeti kifejezést szorzattá alakítjuk a következő képlet alapján: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Behelyettesítjük a(z) -\frac{10}{9} értéket x_{1} helyére, a(z) -\frac{10}{9} értéket pedig x_{2} helyére.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

A(z) p-\left(-q\right) alakú kifejezések egyszerűsítése p+q alakúvá.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

\frac{10}{9} és x összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

\frac{10}{9} és x összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{9x+10}{9} és \frac{9x+10}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 9 és 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

A legnagyobb közös osztó (81) kiejtése itt: 81 és 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Kiértékelés

$$\left(9x+10\right)^{2}$$