81b^2-126b+48=0 megoldása

$$81 b ^ { 2 } - 126 b + 48 = 0$$

Megoldás a(z) b változóra

$$b=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$b=\frac{8}{9}\approx 0,888888889$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 81 értéket a-ba, a(z) -126 értéket b-be és a(z) 48 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{\left(-126\right)^{2}-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -126.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 81.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-324\times 48}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -324 és 48.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-15552}}{2\times 81}$$

Összeadjuk a következőket: 15876 és -15552.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{324}}{2\times 81}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 324.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±18}{2\times 81}$$

-126 ellentettje 126.

$$b=\frac{126±18}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 81.

$$b=\frac{126±18}{162}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{126±18}{162}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 126 és 18.

$$b=\frac{144}{162}$$

A törtet (\frac{144}{162}) leegyszerűsítjük 18 kivonásával és kiejtésével.

$$b=\frac{8}{9}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{126±18}{162}). ± előjele negatív. 18 kivonása a következőből: 126.

$$b=\frac{108}{162}$$

A törtet (\frac{108}{162}) leegyszerűsítjük 54 kivonásával és kiejtésével.

$$b=\frac{2}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 48.

$$81b^{2}-126b+48-48=-48$$

Ha kivonjuk a(z) 48 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$81b^{2}-126b=-48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 81.

$$\frac{81b^{2}-126b}{81}=-\frac{48}{81}$$

A(z) 81 értékkel való osztás eltünteti a(z) 81 értékkel való szorzást.

$$b^{2}+\left(-\frac{126}{81}\right)b=-\frac{48}{81}$$

A törtet (\frac{-126}{81}) leegyszerűsítjük 9 kivonásával és kiejtésével.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{48}{81}$$

A törtet (\frac{-48}{81}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{16}{27}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{14}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{9}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{9} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{16}{27}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{9} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=-\frac{16}{27}+\frac{49}{81}$$

-\frac{16}{27} és \frac{49}{81} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=\frac{1}{81}$$

Tényezőkre b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{1}{81}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{81}}$$

Egyszerűsítünk.

$$b-\frac{7}{9}=\frac{1}{9} b-\frac{7}{9}=-\frac{1}{9}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{9}.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$