81x^2+90x+25 megoldása

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Szorzattá alakítás

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

A megoldás lépései

Csoportosítással tényezőkre bontjuk a kifejezést úgy, hogy először átírjuk 81x^{2}+ax+bx+25 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 90.

$$a=45 b=45$$

Átírjuk az értéket (81x^{2}+90x+25) \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right) alakban.

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Kiemeljük a(z) 9x tényezőt az első, a(z) 5 tényezőt pedig a második csoportban.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 9x+5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Lépések binom négyzetének használatával

Ez a háromtagú kifejezés teljes négyzet alakban van, esetleg meg van szorozva egy közös tényezővel. A teljes négyzet szorzattá alakításához ki kell számolni az első és az utolsó tag négyzetgyökét.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Megkeressük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Négyzetgyököt vonunk az első, 81x^{2} tagból.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Négyzetgyököt vonunk az utolsó, 25 tagból.

$$\sqrt{25}=5$$

A trinom teljes négyzet annak a binomnak a négyzete, amely az első és az utolsó tag négyzetgyökének összege vagy különbsége, ahol az előjelet a trinom középső tagjának előjele adja meg.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Egy másodfokú polinom az ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) átalakítással bontható tényezőkre, ahol x_{1} és x_{2} a másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: -324 és 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Összeadjuk a következőket: 8100 és -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Az eredeti kifejezést szorzattá alakítjuk a következő képlet alapján: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Behelyettesítjük a(z) -\frac{5}{9} értéket x_{1} helyére, a(z) -\frac{5}{9} értéket pedig x_{2} helyére.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

A(z) p-\left(-q\right) alakú kifejezések egyszerűsítése p+q alakúvá.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

\frac{5}{9} és x összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

\frac{5}{9} és x összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{9x+5}{9} és \frac{9x+5}{9}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 9 és 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

A legnagyobb közös osztó (81) kiejtése itt: 81 és 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Kiértékelés

$$\left(9x+5\right)^{2}$$