8y^3-27=0 megoldása

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -27 állandónak, és q osztója a(z) 8 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$y=\frac{3}{2}$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) y-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 8y^{3}-27 értéket a(z) 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 értékkel. Az eredmény 4y^{2}+6y+9. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$y\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$y=\frac{3}{2}$$