8x^2-9x+1=0 megoldása

$$8 x ^ { 2 } - 9 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 8x^{2}+ax+bx+1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-9 ab=8\times 1=8$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -9.

$$a=-8 b=-1$$

Átírjuk az értéket (8x^{2}-9x+1) \left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right) alakban.

$$\left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right)$$

A 8x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$8x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a 8x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) -9 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 8}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 8}$$

-9 ellentettje 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{9±7}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±7}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 9 és 7.

$$x=\frac{16}{16}$$

16 elosztása a következővel: 16.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±7}{16}). ± előjele negatív. 7 kivonása a következőből: 9.

$$x=\frac{2}{16}$$

A törtet (\frac{2}{16}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$8x^{2}-9x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}-9x}{8}=-\frac{1}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{9}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{16}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

-\frac{1}{8} és \frac{81}{256} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{16}.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$