8x^2-8x-1=0 megoldása

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

8+4\sqrt{6} elosztása a következővel: 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}). ± előjele negatív. 4\sqrt{6} kivonása a következőből: 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

8-4\sqrt{6} elosztása a következővel: 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

-8 elosztása a következővel: 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{8} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Tényezőkre x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$