8x^2+x-3=0 megoldása

$$8 x ^ { 2 } + x - 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}\approx 0,553053613$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}\approx -0,678053613$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8x^{2}+x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+96}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 96.

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}). ± előjele negatív. \sqrt{97} kivonása a következőből: -1.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8x^{2}+x-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$8x^{2}+x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8x^{2}+x=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$8x^{2}+x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}+x}{8}=\frac{3}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=\frac{3}{8}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{16}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{3}{8}+\frac{1}{256}$$

\frac{3}{8} és \frac{1}{256} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{97}{256}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{97}{256}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{256}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{16}=\frac{\sqrt{97}}{16} x+\frac{1}{16}=-\frac{\sqrt{97}}{16}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{16}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$