8x^2+8x+(-1)leq0 megoldása

$$8 x ^ { 2 } + 8 x + ( - 1 ) \leq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$8x^{2}+8x-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) 8 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{6}}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±4\sqrt{6}}{16}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$8\left(x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\right)\leq 0$$

A szorzat csak akkor ≤0, ha a két érték (x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right) és x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)) közül az egyik ≥0, a másik pedig ≤0. Tegyük fel, hogy x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\geq 0 és x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\geq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\leq 0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\leq 0 és x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right)\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left[-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$