8x^2+13x+10=0 megoldása

$$8 x ^ { 2 } + 13 x + 10 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}\approx -0,8125+0,768012858i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}\approx -0,8125-0,768012858i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) 13 értéket b-be és a(z) 10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-32\times 10}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és 10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-320}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 169 és -320.

$$x=\frac{-13±\sqrt{-151}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -151.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -13 és i\sqrt{151}.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}). ± előjele negatív. i\sqrt{151} kivonása a következőből: -13.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$8x^{2}+13x+10-10=-10$$

Ha kivonjuk a(z) 10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8x^{2}+13x=-10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}+13x}{8}=-\frac{10}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{10}{8}$$

A törtet (\frac{-10}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{5}{4}$$

Elosztjuk a(z) \frac{13}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{13}{16}. Ezután hozzáadjuk \frac{13}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}$$

A(z) \frac{13}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{256}$$

-\frac{5}{4} és \frac{169}{256} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{151}{256}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{151}{256}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{256}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{13}{16}=\frac{\sqrt{151}i}{16} x+\frac{13}{16}=-\frac{\sqrt{151}i}{16}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{13}{16}.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$