8x^2+10x-7=0 megoldása

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 8x^{2}+ax+bx-7 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=-4 b=14$$

Átírjuk az értéket (8x^{2}+10x-7) \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right) alakban.

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Kiemeljük a(z) 4x tényezőt az első, a(z) 7 tényezőt pedig a második csoportban.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 2x-1=0 és 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±18}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

A törtet (\frac{8}{16}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±18}{16}). ± előjele negatív. 18 kivonása a következőből: -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

A törtet (\frac{-28}{16}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

A törtet (\frac{10}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

\frac{7}{8} és \frac{25}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

A(z) x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{8}.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$