8t^2+10t-3=0 megoldása

$$8 t ^ { 2 } + 10 t - 3 = 0$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 8t^{2}+at+bt-3 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=-2 b=12$$

Átírjuk az értéket (8t^{2}+10t-3) \left(8t^{2}-2t\right)+\left(12t-3\right) alakban.

$$\left(8t^{2}-2t\right)+\left(12t-3\right)$$

A 2t a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$2t\left(4t-1\right)+3\left(4t-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 4t-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(4t-1\right)\left(2t+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 4t-1=0 és a 2t+3=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-\frac{3}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8t^{2}+10t-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és -3.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 96.

$$t=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 196.

$$t=\frac{-10±14}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$t=\frac{-10±14}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-10±14}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 14.

$$t=\frac{4}{16}$$

A törtet (\frac{4}{16}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$t=\frac{1}{4}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-10±14}{16}). ± előjele negatív. 14 kivonása a következőből: -10.

$$t=-\frac{24}{16}$$

A törtet (\frac{-24}{16}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$t=\frac{1}{4} t=-\frac{3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8t^{2}+10t-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$8t^{2}+10t-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8t^{2}+10t=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$8t^{2}+10t=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8t^{2}+10t}{8}=\frac{3}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$t^{2}+\frac{10}{8}t=\frac{3}{8}$$

A törtet (\frac{10}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t=\frac{3}{8}$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}=\frac{3}{8}+\frac{25}{64}$$

\frac{3}{8} és \frac{25}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}=\frac{49}{64}$$

Tényezőkre t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(t+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$t+\frac{5}{8}=\frac{7}{8} t+\frac{5}{8}=-\frac{7}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{8}.

$$t=\frac{1}{4} t=-\frac{3}{2}$$