8x^2-7x+2=0 megoldása

$$8 { x }^{ 2 } -7x+2=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}\approx 0,4375+0,242061459i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}\approx 0,4375-0,242061459i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) 2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32\times 2}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-64}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és -64.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-15}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és i\sqrt{15}.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}). ± előjele negatív. i\sqrt{15} kivonása a következőből: 7.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$8x^{2}-7x+2-2=-2$$

Ha kivonjuk a(z) 2 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$8x^{2}-7x=-2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}-7x}{8}=-\frac{2}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{2}{8}$$

A törtet (\frac{-2}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{1}{4}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{8} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{16}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{16} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{16} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{256}$$

-\frac{1}{4} és \frac{49}{256} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{15}{256}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{15}{256}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{256}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{15}i}{16} x-\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{15}i}{16}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{16}.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$