8x^2-14x-15 megoldása

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Szorzattá alakítás

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

A megoldás lépései

Csoportosítással tényezőkre bontjuk a kifejezést úgy, hogy először átírjuk 8x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -14.

$$a=-20 b=6$$

Átírjuk az értéket (8x^{2}-14x-15) \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right) alakban.

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±26}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

A törtet (\frac{40}{16}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±26}{16}). ± előjele negatív. 26 kivonása a következőből: 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

A törtet (\frac{-12}{16}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Az eredeti kifejezést szorzattá alakítjuk a következő képlet alapján: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Behelyettesítjük a(z) \frac{5}{2} értéket x_{1} helyére, a(z) -\frac{3}{4} értéket pedig x_{2} helyére.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

A(z) p-\left(-q\right) alakú kifejezések egyszerűsítése p+q alakúvá.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

\frac{5}{2} kivonása a következőből: x: megkeressük a közös nevezőt, majd kivonjuk egymásból a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

\frac{3}{4} és x összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{2x-5}{2} és \frac{4x+3}{4}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

A legnagyobb közös osztó (8) kiejtése itt: 8 és 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Kiértékelés

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$