8x^2=30x+27 megoldása

$$8 { x }^{ 2 } =30x+27$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 30x.

$$8x^{2}-30x=27$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 27.

$$8x^{2}-30x-27=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 8x^{2}+ax+bx-27 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-30 ab=8\left(-27\right)=-216$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -30.

$$a=-36 b=6$$

Átírjuk az értéket (8x^{2}-30x-27) \left(8x^{2}-36x\right)+\left(6x-27\right) alakban.

$$\left(8x^{2}-36x\right)+\left(6x-27\right)$$

A 4x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$4x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-9 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-9\right)\left(4x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-9=0 és a 4x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 30x.

$$8x^{2}-30x=27$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 27.

$$8x^{2}-30x-27=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 8 értéket a-ba, a(z) -30 értéket b-be és a(z) -27 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: -32 és -27.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+864}}{2\times 8}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és 864.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{1764}}{2\times 8}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1764.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±42}{2\times 8}$$

-30 ellentettje 30.

$$x=\frac{30±42}{2\times 8}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 8.

$$x=\frac{30±42}{16}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±42}{16}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 30 és 42.

$$x=\frac{72}{16}$$

A törtet (\frac{72}{16}) leegyszerűsítjük 8 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{9}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{30±42}{16}). ± előjele negatív. 42 kivonása a következőből: 30.

$$x=-\frac{12}{16}$$

A törtet (\frac{-12}{16}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 30x.

$$8x^{2}-30x=27$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=\frac{27}{8}$$

A(z) 8 értékkel való osztás eltünteti a(z) 8 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=\frac{27}{8}$$

A törtet (\frac{-30}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=\frac{27}{8}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{15}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{15}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{15}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{27}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{15}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{27}{8}+\frac{225}{64}$$

\frac{27}{8} és \frac{225}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{441}{64}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{21}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{21}{8}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{15}{8}.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{4}$$