75x^2+35x-10=0 megoldása

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 15x^{2}+ax+bx-2 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 7.

$$a=-3 b=10$$

Átírjuk az értéket (15x^{2}+7x-2) \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right) alakban.

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 2 faktort.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 5x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 5x-1=0 és a 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 75 értéket a-ba, a(z) 35 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Összeszorozzuk a következőket: -300 és -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Összeadjuk a következőket: 1225 és 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-35±65}{150}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -35 és 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

A törtet (\frac{30}{150}) leegyszerűsítjük 30 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{5}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-35±65}{150}). ± előjele negatív. 65 kivonása a következőből: -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

A törtet (\frac{-100}{150}) leegyszerűsítjük 50 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 10.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

-10 kivonása a következőből: 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

A(z) 75 értékkel való osztás eltünteti a(z) 75 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

A törtet (\frac{35}{75}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

A törtet (\frac{10}{75}) leegyszerűsítjük 5 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Elosztjuk a(z) \frac{7}{15} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{30}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{30} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{30} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

\frac{2}{15} és \frac{49}{900} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{30}.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$