7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3 megoldása

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$7x-15y-2=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$7x-15y=2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15y.

$$7x=15y+2$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{7} és 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{15y+2}{7} értéket x helyére a másik, x+2y=3 egyenletben.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Összeadjuk a következőket: \frac{15y}{7} és 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{2}{7}.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{29}{7}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=\frac{19}{29}$$

A(z) x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{19}{29}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{15}{7} és \frac{19}{29}. Ezt úgy végezzük, hogy a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

\frac{2}{7} és \frac{285}{203} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{49}{29}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

7x és x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 1, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Egyszerűsítünk.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

7x+14y=21 kivonása a következőből: 7x-15y-2=0: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Összeadjuk a következőket: 7x és -7x. 7x és -7x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-15y-14y-2=-21$$

Összeadjuk a következőket: -15y és -14y.

$$-29y-2=-21$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$-29y=-19$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

A(z) x+2y=3 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{19}{29}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{38}{29}.

$$x=\frac{49}{29}$$

A rendszer megoldva.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$