7x^2-2x-3=0 megoldása

$$7 x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}\approx 0,812916537$$

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}\approx -0,527202251$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -28 és -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+84}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{88}}{2\times 7}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 88.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+2}{14}$$

2+2\sqrt{22} elosztása a következővel: 14.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}). ± előjele negatív. 2\sqrt{22} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{22}}{14}$$

2-2\sqrt{22} elosztása a következővel: 14.

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$7x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$7x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$7x^{2}-2x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7x^{2}-2x}{7}=\frac{3}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{7}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{7} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{7} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{3}{7}+\frac{1}{49}$$

\frac{3}{7} és \frac{1}{49} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{22}{49}$$

A(z) x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{22}{49}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{49}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{22}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{22}}{7}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{7}.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$