7x^2-18x-9=0 megoldása

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 7x^{2}+ax+bx-9 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -18.

$$a=-21 b=3$$

Átírjuk az értéket (7x^{2}-18x-9) \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right) alakban.

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

A 7x a második csoportban lévő első és 3 faktort.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-3=0 és a 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) -18 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -28 és -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 324 és 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

-18 ellentettje 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{18±24}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 18 és 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

42 elosztása a következővel: 14.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{18±24}{14}). ± előjele negatív. 24 kivonása a következőből: 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

A törtet (\frac{-6}{14}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{18}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{7}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{7} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{7} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

\frac{9}{7} és \frac{81}{49} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{7}.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$