7x^2+5x+5=0 megoldása

$$7 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}\approx -0,357142857+0,765986092i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}\approx -0,357142857-0,765986092i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 5}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -28 és 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-140}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -140.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-115}}{2\times 7}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -115.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és i\sqrt{115}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}). ± előjele negatív. i\sqrt{115} kivonása a következőből: -5.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$7x^{2}+5x+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$7x^{2}+5x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{5}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{14}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{14} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{14} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{5}{7}+\frac{25}{196}$$

-\frac{5}{7} és \frac{25}{196} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{115}{196}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{115}{196}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{196}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{115}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{115}i}{14}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{14}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$