7x^2+4x+1=0 megoldása

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

-4+2i\sqrt{3} elosztása a következővel: 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{3} kivonása a következőből: -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

-4-2i\sqrt{3} elosztása a következővel: 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{4}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{2}{7}. Ezután hozzáadjuk \frac{2}{7} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

A(z) \frac{2}{7} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

-\frac{1}{7} és \frac{4}{49} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

A(z) x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{2}{7}.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$