7x^2+2x=9 megoldása

$$7 x ^ { 2 } + 2 x = 9$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1,285714286$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 7x^{2}+ax+bx-9 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=2 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 2.

$$a=-7 b=9$$

Átírjuk az értéket (7x^{2}+2x-9) \left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right) alakban.

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right)$$

Kiemeljük a(z) 7x tényezőt az első, a(z) 9 tényezőt pedig a második csoportban.

$$7x\left(x-1\right)+9\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(7x+9\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-1=0 és 7x+9=0.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$7x^{2}+2x=9$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$7x^{2}+2x-9=9-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -28 és -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 7}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$x=\frac{-2±16}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±16}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 16.

$$x=\frac{14}{14}$$

14 elosztása a következővel: 14.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±16}{14}). ± előjele negatív. 16 kivonása a következőből: -2.

$$x=-\frac{18}{14}$$

A törtet (\frac{-18}{14}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$7x^{2}+2x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=\frac{9}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=\frac{9}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{7}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{7} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{7} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{9}{7}+\frac{1}{49}$$

\frac{9}{7} és \frac{1}{49} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{64}{49}$$

A(z) x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{64}{49}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{49}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{8}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{8}{7}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{7}.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$