7n^2-121n-128-3728geq0 megoldása

$$7 n ^ { 2 } - 121 n - 128 - 3728 \geq 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n\in (-\infty,\frac{121-\sqrt{122609}}{14}]\cup [\frac{\sqrt{122609}+121}{14},\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Kivonjuk a(z) 3728 értékből a(z) -128 értéket. Az eredmény -3856.

$$7n^{2}-121n-3856\geq 0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$7n^{2}-121n-3856=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) -121 értéket b-be és a(z) -3856 értéket c-be a megoldóképletben.

$$n=\frac{-\left(-121\right)±\sqrt{\left(-121\right)^{2}-4\times 7\left(-3856\right)}}{2\times 7}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$n=\frac{121±\sqrt{122609}}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{121±\sqrt{122609}}{14}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$n=\frac{\sqrt{122609}+121}{14} n=\frac{121-\sqrt{122609}}{14}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$7\left(n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14}\right)\left(n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14} és n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14} és n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14} eredménye egyaránt ≤0.

$$n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14}\leq 0 n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás n\leq \frac{121-\sqrt{122609}}{14}.

$$n\leq \frac{121-\sqrt{122609}}{14}$$

Tegyük fel, hogy n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14} és n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14} eredménye egyaránt ≥0.

$$n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}\geq 0 n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14}\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás n\geq \frac{\sqrt{122609}+121}{14}.

$$n\geq \frac{\sqrt{122609}+121}{14}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$n\leq \frac{121-\sqrt{122609}}{14}\text{; }n\geq \frac{\sqrt{122609}+121}{14}$$