7k^2+18k-27=0 megoldása

$$7 k ^ { 2 } + 18 k - 27 = 0$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k = \frac{3 \sqrt{30} - 9}{7} \approx 1,061668104$$

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}\approx -3,633096675$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) 18 értéket b-be és a(z) -27 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 18.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-28\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -28 és -27.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324+756}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 324 és 756.

$$k=\frac{-18±\sqrt{1080}}{2\times 7}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1080.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -18 és 6\sqrt{30}.

$$k=\frac{6\sqrt{30}-18}{14}$$

-18+6\sqrt{30} elosztása a következővel: 14.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7}$$

Megoldjuk az egyenletet (k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}). ± előjele negatív. 6\sqrt{30} kivonása a következőből: -18.

$$k=\frac{-6\sqrt{30}-18}{14}$$

-18-6\sqrt{30} elosztása a következővel: 14.

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 27.

$$7k^{2}+18k-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -27 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$7k^{2}+18k=-\left(-27\right)$$

-27 kivonása a következőből: 0.

$$7k^{2}+18k=27$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7k^{2}+18k}{7}=\frac{27}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k=\frac{27}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{18}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{9}{7}. Ezután hozzáadjuk \frac{9}{7} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{27}{7}+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}$$

A(z) \frac{9}{7} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{27}{7}+\frac{81}{49}$$

\frac{27}{7} és \frac{81}{49} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{270}{49}$$

Tényezőkre k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{270}{49}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{270}{49}}$$

Egyszerűsítünk.

$$k+\frac{9}{7}=\frac{3\sqrt{30}}{7} k+\frac{9}{7}=-\frac{3\sqrt{30}}{7}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{9}{7}.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$