7x^2-3x-5=0 megoldása

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1.086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0.657611115$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 7 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: -28 és -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

-3 ellentettje 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 7.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 3 és \sqrt{149}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}). ± előjele negatív. \sqrt{149} kivonása a következőből: 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 0.

$$7x^{2}-3x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

A(z) 7 értékkel való osztás eltünteti a(z) 7 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{14}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{14} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{14} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

\frac{5}{7} és \frac{9}{196} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

A(z) x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{14}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$