69x^2+1157x-6760=0 megoldása

$$69 x ^ { 2 } + 1157 x - 6760 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{13 \sqrt{18961} - 1157}{138} \approx 4,587581962$$

$$x=\frac{-13\sqrt{18961}-1157}{138}\approx -21,355697904$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$69x^{2}+1157x-6760=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 69 értéket a-ba, a(z) 1157 értéket b-be és a(z) -6760 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1157±\sqrt{1157^{2}-4\times 69\left(-6760\right)}}{2\times 69}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1157.

$$x=\frac{-1157±\sqrt{1338649-4\times 69\left(-6760\right)}}{2\times 69}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 69.

$$x=\frac{-1157±\sqrt{1338649-276\left(-6760\right)}}{2\times 69}$$

Összeszorozzuk a következőket: -276 és -6760.

$$x=\frac{-1157±\sqrt{1338649+1865760}}{2\times 69}$$

Összeadjuk a következőket: 1338649 és 1865760.

$$x=\frac{-1157±\sqrt{3204409}}{2\times 69}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3204409.

$$x=\frac{-1157±13\sqrt{18961}}{2\times 69}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 69.

$$x=\frac{-1157±13\sqrt{18961}}{138}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1157±13\sqrt{18961}}{138}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1157 és 13\sqrt{18961}.

$$x=\frac{13\sqrt{18961}-1157}{138}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1157±13\sqrt{18961}}{138}). ± előjele negatív. 13\sqrt{18961} kivonása a következőből: -1157.

$$x=\frac{-13\sqrt{18961}-1157}{138}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{13\sqrt{18961}-1157}{138} x=\frac{-13\sqrt{18961}-1157}{138}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$69x^{2}+1157x-6760=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6760.

$$69x^{2}+1157x-6760-\left(-6760\right)=-\left(-6760\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -6760 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$69x^{2}+1157x=-\left(-6760\right)$$

-6760 kivonása a következőből: 0.

$$69x^{2}+1157x=6760$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 69.

$$\frac{69x^{2}+1157x}{69}=\frac{6760}{69}$$

A(z) 69 értékkel való osztás eltünteti a(z) 69 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{1157}{69}x=\frac{6760}{69}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1157}{69} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1157}{138}. Ezután hozzáadjuk \frac{1157}{138} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1157}{69}x+\left(\frac{1157}{138}\right)^{2}=\frac{6760}{69}+\left(\frac{1157}{138}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1157}{138} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1157}{69}x+\frac{1338649}{19044}=\frac{6760}{69}+\frac{1338649}{19044}$$

\frac{6760}{69} és \frac{1338649}{19044} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1157}{69}x+\frac{1338649}{19044}=\frac{3204409}{19044}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1157}{69}x+\frac{1338649}{19044}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1157}{138}\right)^{2}=\frac{3204409}{19044}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1157}{138}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3204409}{19044}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1157}{138}=\frac{13\sqrt{18961}}{138} x+\frac{1157}{138}=-\frac{13\sqrt{18961}}{138}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1157}{138}.

$$x=\frac{13\sqrt{18961}-1157}{138} x=\frac{-13\sqrt{18961}-1157}{138}$$