64x^2-16x-35=0 megoldása

$$64 { x }^{ 2 } -16x-35=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{5}{8}=-0,625$$

$$x=\frac{7}{8}=0,875$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 64x^{2}+ax+bx-35 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-16 ab=64\left(-35\right)=-2240$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -2240.

$$1,-2240 2,-1120 4,-560 5,-448 7,-320 8,-280 10,-224 14,-160 16,-140 20,-112 28,-80 32,-70 35,-64 40,-56$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-2240=-2239 2-1120=-1118 4-560=-556 5-448=-443 7-320=-313 8-280=-272 10-224=-214 14-160=-146 16-140=-124 20-112=-92 28-80=-52 32-70=-38 35-64=-29 40-56=-16$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -16.

$$a=-56 b=40$$

Átírjuk az értéket (64x^{2}-16x-35) \left(64x^{2}-56x\right)+\left(40x-35\right) alakban.

$$\left(64x^{2}-56x\right)+\left(40x-35\right)$$

A 8x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$8x\left(8x-7\right)+5\left(8x-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 8x-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(8x-7\right)\left(8x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 8x-7=0 és a 8x+5=0.

$$x=\frac{7}{8} x=-\frac{5}{8}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$64x^{2}-16x-35=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 64 értéket a-ba, a(z) -16 értéket b-be és a(z) -35 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 64\left(-35\right)}}{2\times 64}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 64\left(-35\right)}}{2\times 64}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-256\left(-35\right)}}{2\times 64}$$

Összeszorozzuk a következőket: -256 és -35.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+8960}}{2\times 64}$$

Összeadjuk a következőket: 256 és 8960.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{9216}}{2\times 64}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9216.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±96}{2\times 64}$$

-16 ellentettje 16.

$$x=\frac{16±96}{2\times 64}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 64.

$$x=\frac{16±96}{128}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{16±96}{128}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 16 és 96.

$$x=\frac{112}{128}$$

A törtet (\frac{112}{128}) leegyszerűsítjük 16 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{7}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{16±96}{128}). ± előjele negatív. 96 kivonása a következőből: 16.

$$x=-\frac{80}{128}$$

A törtet (\frac{-80}{128}) leegyszerűsítjük 16 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{8}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{7}{8} x=-\frac{5}{8}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$64x^{2}-16x-35=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 35.

$$64x^{2}-16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -35 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$64x^{2}-16x=-\left(-35\right)$$

-35 kivonása a következőből: 0.

$$64x^{2}-16x=35$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 64.

$$\frac{64x^{2}-16x}{64}=\frac{35}{64}$$

A(z) 64 értékkel való osztás eltünteti a(z) 64 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{64}\right)x=\frac{35}{64}$$

A törtet (\frac{-16}{64}) leegyszerűsítjük 16 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{35}{64}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{8}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{35}{64}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{35+1}{64}$$

\frac{35}{64} és \frac{1}{64} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{16}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{8}=-\frac{3}{4}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{8}.

$$x=\frac{7}{8} x=-\frac{5}{8}$$