636=5n+4n^2 megoldása

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13,25$$

$$n=12$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$5n+4n^{2}=636$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 636.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 4n^{2}+an+bn-636 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -2544.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 5.

$$a=-48 b=53$$

Átírjuk az értéket (4n^{2}+5n-636) \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right) alakban.

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Kiemeljük a(z) 4n tényezőt az első, a(z) 53 tényezőt pedig a második csoportban.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) n-12 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához n-12=0 és 4n+53=0.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$5n+4n^{2}=636$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 636.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 4 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) -636 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: -16 és -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-5±101}{8}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

96 elosztása a következővel: 8.

$$n=12$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-5±101}{8}). ± előjele negatív. 101 kivonása a következőből: -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

A törtet (\frac{-106}{8}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$n=-\frac{53}{4}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Megcseréljük az oldalakat, hogy minden változót tartalmazó tag a bal oldalon legyen.

$$5n+4n^{2}=636$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$4n^{2}+5n=636$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

A(z) 4 értékkel való osztás eltünteti a(z) 4 értékkel való szorzást.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

636 elosztása a következővel: 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{4} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{8}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{8} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{8} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Összeadjuk a következőket: 159 és \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

A(z) n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{8}.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$