62x^2+3x-1<0 megoldása

$$62 x ^ { 2 } + 3 x - 1 < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{257}-3}{124},\frac{\sqrt{257}-3}{124}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$62x^{2}+3x-1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 62 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 62\left(-1\right)}}{2\times 62}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{257}}{124}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{257}}{124}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{257}-3}{124} x=\frac{-\sqrt{257}-3}{124}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$62\left(x-\frac{\sqrt{257}-3}{124}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{257}-3}{124}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\frac{\sqrt{257}-3}{124} és x-\frac{-\sqrt{257}-3}{124}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\frac{\sqrt{257}-3}{124} eredménye pozitív, x-\frac{-\sqrt{257}-3}{124} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{\sqrt{257}-3}{124}>0 x-\frac{-\sqrt{257}-3}{124}<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{-\sqrt{257}-3}{124} eredménye pozitív, x-\frac{\sqrt{257}-3}{124} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{-\sqrt{257}-3}{124}>0 x-\frac{\sqrt{257}-3}{124}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(\frac{-\sqrt{257}-3}{124},\frac{\sqrt{257}-3}{124}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{257}-3}{124},\frac{\sqrt{257}-3}{124}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{257}-3}{124},\frac{\sqrt{257}-3}{124}\right)$$