6x^2-x-5<0 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - x - 5 < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\frac{5}{6},1\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$6x^{2}-x-5=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{1±11}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±11}{12}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=1 x=-\frac{5}{6}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$6\left(x-1\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-1 és x+\frac{5}{6}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-1 eredménye pozitív, x+\frac{5}{6} eredménye pedig negatív.

$$x-1>0 x+\frac{5}{6}<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x+\frac{5}{6} eredménye pozitív, x-1 eredménye pedig negatív.

$$x+\frac{5}{6}>0 x-1<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(-\frac{5}{6},1\right).

$$x\in \left(-\frac{5}{6},1\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(-\frac{5}{6},1\right)$$