6x^2-x=40 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 40.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx-40 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-16 b=15$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}-x-40) \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right) alakban.

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

A 2x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-8 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-8=0 és a 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-x=40$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 40.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Ha kivonjuk a(z) 40 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -40 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±31}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

A törtet (\frac{32}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{8}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±31}{12}). ± előjele negatív. 31 kivonása a következőből: 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

A törtet (\frac{-30}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}-x=40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

A törtet (\frac{40}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{12}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

\frac{20}{3} és \frac{1}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{12}.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$