6x^2-x=15 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 15.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-10 b=9$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}-x-15) \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right) alakban.

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Kiemeljük a(z) 2x tényezőt az első, a(z) 3 tényezőt pedig a második csoportban.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 3x-5=0 és 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-x=15$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 15.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Ha kivonjuk a(z) 15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±19}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

A törtet (\frac{20}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±19}{12}). ± előjele negatív. 19 kivonása a következőből: 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

A törtet (\frac{-18}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}-x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

A törtet (\frac{15}{6}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{12}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

\frac{5}{2} és \frac{1}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

A(z) x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{12}.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$