6x^2-7x-3=0 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx-3 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-9 b=2$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}-7x-3) \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right) alakban.

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Emelje ki a(z) 3x elemet a(z) 6x^{2}-9x kifejezésből.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 2x-3=0 és 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

-7 ellentettje 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±11}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

A törtet (\frac{18}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{7±11}{12}). ± előjele negatív. 11 kivonása a következőből: 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

A törtet (\frac{-4}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

A törtet (\frac{3}{6}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{12}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

\frac{1}{2} és \frac{49}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

A(z) x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{12}.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$