6x^2-5x+1<0 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - 5 x + 1 < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$6x^{2}-5x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\times 1}}{2\times 6}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{5±1}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±1}{12}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\frac{1}{2} és x-\frac{1}{3}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\frac{1}{2} eredménye pozitív, x-\frac{1}{3} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{1}{2}>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{1}{3} eredménye pozitív, x-\frac{1}{2} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{1}{3}>0 x-\frac{1}{2}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$