6x^2-19x=36 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - 19 x = 36$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 36.

$$6x^{2}-19x-36=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx-36 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-19 ab=6\left(-36\right)=-216$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -19.

$$a=-27 b=8$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}-19x-36) \left(6x^{2}-27x\right)+\left(8x-36\right) alakban.

$$\left(6x^{2}-27x\right)+\left(8x-36\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$3x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-9 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-9\right)\left(3x+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-9=0 és a 3x+4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{4}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-19x=36$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 36.

$$6x^{2}-19x-36=36-36$$

Ha kivonjuk a(z) 36 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}-19x-36=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -19 értéket b-be és a(z) -36 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 6\left(-36\right)}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 6\left(-36\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-24\left(-36\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -36.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 361 és 864.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1225.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 6}$$

-19 ellentettje 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{19±35}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{19±35}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 19 és 35.

$$x=\frac{54}{12}$$

A törtet (\frac{54}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{9}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{19±35}{12}). ± előjele negatív. 35 kivonása a következőből: 19.

$$x=-\frac{16}{12}$$

A törtet (\frac{-16}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{4}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}-19x=36$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-19x}{6}=\frac{36}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=\frac{36}{6}$$

36 elosztása a következővel: 6.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=6$$

Elosztjuk a(z) -\frac{19}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{19}{12}. Ezután hozzáadjuk -\frac{19}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}=6+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{19}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=6+\frac{361}{144}$$

Összeadjuk a következőket: 6 és \frac{361}{144}.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{1225}{144}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{1225}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{19}{12}=\frac{35}{12} x-\frac{19}{12}=-\frac{35}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{19}{12}.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{4}{3}$$