6x^2-14x-9=0 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2,858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0,524815261$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 216.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 412.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 2\sqrt{103}.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

14+2\sqrt{103} elosztása a következővel: 12.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}). ± előjele negatív. 2\sqrt{103} kivonása a következőből: 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

14-2\sqrt{103} elosztása a következővel: 12.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$6x^{2}-14x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

A törtet (\frac{-14}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

A törtet (\frac{9}{6}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

\frac{3}{2} és \frac{49}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

A(z) x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{6}.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$