6x^2-13x-63<0 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - 13 x - 63 < 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\frac{7}{3},\frac{9}{2}\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$6x^{2}-13x-63=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -13 értéket b-be és a(z) -63 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\left(-63\right)}}{2\times 6}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{13±41}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{13±41}{12}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{7}{3}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$6\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)<0$$

A szorzat csak akkor negatív, ha a két érték (x-\frac{9}{2} és x+\frac{7}{3}) ellenkező előjelű. Tegyük fel, hogy x-\frac{9}{2} eredménye pozitív, x+\frac{7}{3} eredménye pedig negatív.

$$x-\frac{9}{2}>0 x+\frac{7}{3}<0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x+\frac{7}{3} eredménye pozitív, x-\frac{9}{2} eredménye pedig negatív.

$$x+\frac{7}{3}>0 x-\frac{9}{2}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left(-\frac{7}{3},\frac{9}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{7}{3},\frac{9}{2}\right)$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \left(-\frac{7}{3},\frac{9}{2}\right)$$