6x^2-13x-5geq0 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - 13 x - 5 \geq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in (-\infty,-\frac{1}{3}]\cup [\frac{5}{2},\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$6x^{2}-13x-5=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -13 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{13±17}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{13±17}{12}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$6\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (x-\frac{5}{2} és x+\frac{1}{3}) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy x-\frac{5}{2} és x+\frac{1}{3} eredménye egyaránt ≤0.

$$x-\frac{5}{2}\leq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\leq -\frac{1}{3}.

$$x\leq -\frac{1}{3}$$

Tegyük fel, hogy x-\frac{5}{2} és x+\frac{1}{3} eredménye egyaránt ≥0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-\frac{5}{2}\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\geq \frac{5}{2}.

$$x\geq \frac{5}{2}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\leq -\frac{1}{3}\text{; }x\geq \frac{5}{2}$$