6x^2-13x-15=0 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - 13 x - 15 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-13 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -13.

$$a=-18 b=5$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}-13x-15) \left(6x^{2}-18x\right)+\left(5x-15\right) alakban.

$$\left(6x^{2}-18x\right)+\left(5x-15\right)$$

A 6x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$6x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(6x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-3=0 és a 6x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{6}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-13x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -13 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -15.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+360}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 169 és 360.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 529.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±23}{2\times 6}$$

-13 ellentettje 13.

$$x=\frac{13±23}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{13±23}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{13±23}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 13 és 23.

$$x=\frac{36}{12}$$

36 elosztása a következővel: 12.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{13±23}{12}). ± előjele negatív. 23 kivonása a következőből: 13.

$$x=-\frac{10}{12}$$

A törtet (\frac{-10}{12}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-\frac{5}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}-13x-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$6x^{2}-13x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}-13x=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$6x^{2}-13x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-13x}{6}=\frac{15}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{15}{6}$$

A törtet (\frac{15}{6}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{5}{2}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{13}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{13}{12}. Ezután hozzáadjuk -\frac{13}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{13}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{5}{2}+\frac{169}{144}$$

\frac{5}{2} és \frac{169}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{529}{144}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{23}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{23}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{13}{12}.

$$x=3 x=-\frac{5}{6}$$