6x^2-12x+3geq0 megoldása

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -12 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) és x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) és x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) eredménye egyaránt ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Tegyük fel, hogy x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) és x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) eredménye egyaránt ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$