6x^2-5x-1=0 megoldása

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx-1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -6.

$$1,-6 2,-3$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-6 b=1$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}-5x-1) \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right) alakban.

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Emelje ki a(z) 6x elemet a(z) 6x^{2}-6x kifejezésből.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±7}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

12 elosztása a következővel: 12.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±7}{12}). ± előjele negatív. 7 kivonása a következőből: 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

A törtet (\frac{-2}{12}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{12}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

\frac{1}{6} és \frac{25}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{12}.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$