6x^2+7x-5=0 megoldása

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx-5 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 7.

$$a=-3 b=10$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}+7x-5) \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right) alakban.

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 2x-1=0 és a 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±13}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -7 és 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

A törtet (\frac{6}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±13}{12}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

A törtet (\frac{-20}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Elosztjuk a(z) \frac{7}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{12}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

\frac{5}{6} és \frac{49}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{12}.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$