6x^2+5x+1=0 megoldása

$$6 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6x^{2}+ax+bx+1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=5 ab=6\times 1=6$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 6.

$$1,6 2,3$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+6=7 2+3=5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 5.

$$a=2 b=3$$

Átírjuk az értéket (6x^{2}+5x+1) \left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right) alakban.

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)$$

Emelje ki a(z) 2x elemet a(z) 6x^{2}+2x kifejezésből.

$$2x\left(3x+1\right)+3x+1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x+1=0 és a 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{-5±1}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±1}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és 1.

$$x=-\frac{4}{12}$$

A törtet (\frac{-4}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±1}{12}). ± előjele negatív. 1 kivonása a következőből: -5.

$$x=-\frac{6}{12}$$

A törtet (\frac{-6}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$6x^{2}+5x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$6x^{2}+5x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{12}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

-\frac{1}{6} és \frac{25}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{12}.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$