56x^2-12x+1=0 megoldása

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0,107142857+0,079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0,107142857-0,079859571i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 56 értéket a-ba, a(z) -12 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

-12 ellentettje 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 12 és 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

12+4i\sqrt{5} elosztása a következővel: 112.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{5} kivonása a következőből: 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

12-4i\sqrt{5} elosztása a következővel: 112.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$56x^{2}-12x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 56.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

A(z) 56 értékkel való osztás eltünteti a(z) 56 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

A törtet (\frac{-12}{56}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{14} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{28}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{28} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{28} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

-\frac{1}{56} és \frac{9}{784} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{28}.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$