54(1+x)(1+x)=1215 megoldása

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Összeszorozzuk a következőket: 1+x és 1+x. Az eredmény \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(1+x\right)^{2}).

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 54 és 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1215.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Kivonjuk a(z) 1215 értékből a(z) 54 értéket. Az eredmény -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 54 értéket a-ba, a(z) 108 értéket b-be és a(z) -1161 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Összeszorozzuk a következőket: -216 és -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Összeadjuk a következőket: 11664 és 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -108 és 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108+162\sqrt{10} elosztása a következővel: 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}). ± előjele negatív. 162\sqrt{10} kivonása a következőből: -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108-162\sqrt{10} elosztása a következővel: 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Összeszorozzuk a következőket: 1+x és 1+x. Az eredmény \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(1+x\right)^{2}).

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 54 és 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 54.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Kivonjuk a(z) 54 értékből a(z) 1215 értéket. Az eredmény 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

A(z) 54 értékkel való osztás eltünteti a(z) 54 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

108 elosztása a következővel: 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

A törtet (\frac{1161}{54}) leegyszerűsítjük 27 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Összeadjuk a következőket: \frac{43}{2} és 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Tényezőkre x^{2}+2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$