5-x^2+3x=12 megoldása

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1.5-2.179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1.5+2.179449472i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 12.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

Ha kivonjuk a(z) 12 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

12 kivonása a következőből: 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

-3+i\sqrt{19} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}). ± előjele negatív. i\sqrt{19} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

-3-i\sqrt{19} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

5 kivonása a következőből: 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

3 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

7 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Elosztjuk a(z) -3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -7 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

A(z) x^{2}-3x+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$