5y^2-3y-36=0 megoldása

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

Megoldás a(z) y változóra

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2,4$$

$$y=3$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5y^{2}+ay+by-36 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -3.

$$a=-15 b=12$$

Átírjuk az értéket (5y^{2}-3y-36) \left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right) alakban.

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

A 5y a második csoportban lévő első és 12 faktort.

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) y-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a y-3=0 és a 5y+12=0.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -3 értéket b-be és a(z) -36 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -3.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -36.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 720.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 729.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

-3 ellentettje 3.

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$y=\frac{3±27}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{3±27}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 3 és 27.

$$y=\frac{30}{10}$$

30 elosztása a következővel: 10.

$$y=3$$

Megoldjuk az egyenletet (y=\frac{3±27}{10}). ± előjele negatív. 27 kivonása a következőből: 3.

$$y=-\frac{24}{10}$$

A törtet (\frac{-24}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$y=-\frac{12}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 36.

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -36 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

-36 kivonása a következőből: 0.

$$5y^{2}-3y=36$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{3}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

\frac{36}{5} és \frac{9}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

Tényezőkre y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{10}.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$