5x-2y=1;3x+5y=13 megoldása

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=1$$

$$y=2$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$5x-2y=1$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2y.

$$5x=2y+1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{5} és 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{2y+1}{5} értéket x helyére a másik, 3x+5y=13 egyenletben.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Összeadjuk a következőket: \frac{6y}{5} és 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{5}.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a következővel: \frac{31}{5}. Ez ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk a tört reciprokával.

$$y=2$$

A(z) x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{2}{5} és 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

\frac{1}{5} és \frac{4}{5} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=2$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=1,y=2$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

5x és 3x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 3, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Egyszerűsítünk.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

15x+25y=65 kivonása a következőből: 15x-6y=3: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Összeadjuk a következőket: 15x és -15x. 15x és -15x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-6y-25y=3-65$$

Összeadjuk a következőket: -6y és -25y.

$$-31y=3-65$$

Összeadjuk a következőket: 3 és -65.

$$-31y=-62$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -31.

$$y=2$$

A(z) 3x+5y=13 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 2. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$3x+5\times 2=13$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és 2.

$$3x+10=13$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$3x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=1$$

A rendszer megoldva.

$$x=1,y=2$$