5x^2-9x+32=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 9 x + 32 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10}\approx 0,9+2,364318084i$$

$$x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}\approx 0,9-2,364318084i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-9x+32=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -9 értéket b-be és a(z) 32 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\times 32}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\times 32}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\times 32}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és 32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-640}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és -640.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-559}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -559.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{559}i}{2\times 5}$$

-9 ellentettje 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{559}i}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{9±\sqrt{559}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±\sqrt{559}i}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 9 és i\sqrt{559}.

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±\sqrt{559}i}{10}). ± előjele negatív. i\sqrt{559} kivonása a következőből: 9.

$$x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10} x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-9x+32=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 32.

$$5x^{2}-9x+32-32=-32$$

Ha kivonjuk a(z) 32 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-9x=-32$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-9x}{5}=-\frac{32}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{32}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{9}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{9}{10}. Ezután hozzáadjuk -\frac{9}{10} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{32}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{9}{10} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{32}{5}+\frac{81}{100}$$

-\frac{32}{5} és \frac{81}{100} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{559}{100}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{559}{100}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{559}{100}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{559}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{559}i}{10}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{9}{10}.

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10} x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}$$