5x^2-8x-4=0 megoldása

$$5 x ^ { 2 } - 8 x - 4 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 5x^{2}+ax+bx-4 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -8.

$$a=-10 b=2$$

Átírjuk az értéket (5x^{2}-8x-4) \left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right) alakban.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(2x-4\right)$$

A 5x a második csoportban lévő első és 2 faktort.

$$5x\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-2=0 és a 5x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 5 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: -20 és -4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 5}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 5}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 5.

$$x=\frac{8±12}{10}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±12}{10}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 12.

$$x=\frac{20}{10}$$

20 elosztása a következővel: 10.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±12}{10}). ± előjele negatív. 12 kivonása a következőből: 8.

$$x=-\frac{4}{10}$$

A törtet (\frac{-4}{10}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$5x^{2}-8x-4=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4.

$$5x^{2}-8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$5x^{2}-8x=-\left(-4\right)$$

-4 kivonása a következőből: 0.

$$5x^{2}-8x=4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=\frac{4}{5}$$

A(z) 5 értékkel való osztás eltünteti a(z) 5 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{5} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{5}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{5} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{5} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

\frac{4}{5} és \frac{16}{25} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{5}.

$$x=2 x=-\frac{2}{5}$$